Ļoti bieži elektronikā rodas tādas situācijas, kad signālus ir nepieciešams aprakstīt matemātiskā veidā, proti, modelējot tos.
Lai signālu varētu aprakstīt matemātiskā veidā, vispirms ir jāzina tas, kā šis signāls izskatīsies, kāda būs tā vēlamā forma (skatīt 1.1.attēlu). Tālāk ir jāsaprot tas, no kādām atsevišķām matemātiskām funkcijām (sinusa, kosinusa, taisnes u.c.) sastāvēs šis signāls, tas nozīmē to, ka ir nepieciešams uzrakstīt šo funkciju vienādojumus. Kad tas ir izdarīts, tālāk seko integrāļu aprēķini, izmantojot Furjē rindas koeficientu noteikšanas metodi.
Vispārīgā gadījumā Furjē rinda ir trigonometrisku funkciju rinda, kura sastāv no a0 jeb līdzkomponentes un koeficientiem an un bn, kur vispārīgā veidā šos koeficientus nosaka, izmantojot sekojošas formulas:
Lai signālu varētu aprakstīt matemātiskā veidā, vispirms ir jāzina tas, kā šis signāls izskatīsies, kāda būs tā vēlamā forma (skatīt 1.1.attēlu). Tālāk ir jāsaprot tas, no kādām atsevišķām matemātiskām funkcijām (sinusa, kosinusa, taisnes u.c.) sastāvēs šis signāls, tas nozīmē to, ka ir nepieciešams uzrakstīt šo funkciju vienādojumus. Kad tas ir izdarīts, tālāk seko integrāļu aprēķini, izmantojot Furjē rindas koeficientu noteikšanas metodi.
Vispārīgā gadījumā Furjē rinda ir trigonometrisku funkciju rinda, kura sastāv no a0 jeb līdzkomponentes un koeficientiem an un bn, kur vispārīgā veidā šos koeficientus nosaka, izmantojot sekojošas formulas:
1.1.att. Furjē rinda un koeficienti
1.2.att. Furjē rinda periodiskai funkcijai
Koeficients a0 nav atkarīgs no frekvences, jo tas apraksta uzdotā signāla līdzkomponenti. Ja signāla vidējā vērtība ir 0, tad arī a0=0! Protams, vēl integrālaprēķinus atvieglos tas, ja iepriekš tiks noteikts, vai konkrētais signāls atbilst pāra vai nepāra funkcijai, kur, ja šis signāls ir pāra funkcija, tad jāaprēķina tikai koeficients an, jo bn=0, bet, ja funkcija ir nepāra, tad tikai koeficients bn, jo an=0.
Piemēram, ir dots periodisks trīsstūra formas signāls (nepāra funkcija):
1.3.att. Vēlamās formas signāls
Uzdevums ir noteikt Furjē rindas koeficientus konkrētajam signālam un izvirzīt to rindā.
Uzdevums sākas ar to, ka vispirms tiek saprasts tas, ka signālu attēlo, izmantojot trīs taisnes. Tas savukārt nozīmē to, ka vispirms ir nepieciešams uzrakstīt trīs vienādojumus taisnei caur diviem punktiem, izmantojot formulu (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Tālāk visas iegūtās funkcijas f(x) tiks izmantotas, veicot aprēķinus. Aprēķini tiek veikti, izmantojot augstāk redzamās formulas.
Uzdevums sākas ar to, ka vispirms tiek saprasts tas, ka signālu attēlo, izmantojot trīs taisnes. Tas savukārt nozīmē to, ka vispirms ir nepieciešams uzrakstīt trīs vienādojumus taisnei caur diviem punktiem, izmantojot formulu (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Tālāk visas iegūtās funkcijas f(x) tiks izmantotas, veicot aprēķinus. Aprēķini tiek veikti, izmantojot augstāk redzamās formulas.
Katra no atsevišķajām funkcijām izskatās šādi:
Tālāk tiek sastādīta aprēķina izteiksme:
Rezultātā, izmantojot uzrakstīto Furjē rindu, tika iegūts šāds signāls:
s1(t) = -6t/T-3, ja -T/2<t<-T/3
s2(t) = 3t/T, ja -T/3<t<T/3
s3(t) = -6t/T+3, ja T/3<t<T/2
Tālāk, izmantojot iegūtās funkcijas, tiek aprēķināti koeficienti an un bn. Tā kā ir dota nepāra funkcija, kuras vidējā vērtība ir nulle, tad a0=0 un an=0! Tas nozīmē to, ka jāaprēķina tikai koeficients bn.
1.4.att. Aprēķini un to gaita
1.5.att. Aprēķini un to gaita
1.6.att. Aprēķini un to gaita
1.7.att. Aprēķini un to gaita
Rezultātā, izmantojot uzrakstīto Furjē rindu, tika iegūts šāds signāls:
1.8.att. Iegūtais signāls
1.9.att. Signāla izvirzīšana Furjē rindā
No attēliem var redzēt to, ka signāls sakrīt ar sākotnējo jeb vēlamo signālu, kas nozīmē to, ka signāla izvirzīšana Furjē rindā un aprēķinu gaita ir veikta pareizi.